Poznámka: je pravda, že každá ohraničená postupnosť obsahuje konvergentnú podsekvenciu a navyše každá monotónna postupnosť konverguje práve vtedy, ak je ohraničená. Pridané Viac informácií o zaručenej konvergencii ohraničených monotónnych postupností nájdete v položke Monotone Convergence Theorem.
Konverguje každá ohraničená postupnosť v R?
Veta hovorí, že každá ohraničená postupnosť v R má konvergentnú podsekvenciu. Ekvivalentná formulácia je, že podmnožina R je sekvenčne kompaktný vtedy a len vtedy, ak je uzavretý a ohraničený. Veta sa niekedy nazýva sekvenčná teoréma kompaktnosti.
Je každá ohraničená postupnosť reálnych čísel konvergentná?
Odpoveď a vysvetlenie: (a) Je každá ohraničená postupnosť konvergentná? Nie.
Konverguje každá ohraničená monotónna postupnosť?
Nie všetky ohraničené postupnosti, ako (−1)n, konvergujú, ale keby sme vedeli, že ohraničená postupnosť je monotónna, zmenilo by sa to. ak an ≥ an+1 pre všetky n ∈ N. Postupnosť je monotónna, ak rastie alebo klesá. a ohraničené, potom konverguje.
Majú všetky ohraničené postupnosti konvergentnú podsekvenciu?
Bolzanova-Weierstrassova veta: Každá ohraničená postupnosť v Rn má konvergentnú podsekvenciu. of {xmk } je ohraničená postupnosť reálnych čísel, takže má tiež konvergentnú podsekvenciu, … Naopak, každá ohraničená postupnosť je vuzavretá a ohraničená množina, takže má konvergentnú podsekvenciu.
