Čiastočné deriváty a kontinuita. Ak funkcia f: R → R je diferencovateľná, potom f je spojitá. parciálne derivácie funkcie f: R2 → R. f: R2 → R také, že fx(x0, y0) a fy(x0, y0) existujú, ale f nie je spojitá v (x0, y0).
Ako zistíte, či je čiastočná derivácia spojitá?
Nech (a, b)∈R2. Potom viem, že parciálne derivácie existujú a fx(a,b)=2a+b a fy(a,b)=a+2b. Aby sme otestovali spojitosť, lim(x, y)→(a, b)fx(x, y)=lim(x, y)→(a, b)2x+y=2a+b=fx(a, b).
Čo sú spojité parciálne derivácie?
1.1.
V (x)=(x 1 + x 2) 2 Pre všetky zložky vektora x existuje spojitá parciálna derivácia z V(x); keď x=0, V(0)=0, ale nie pre žiadne x ≠ 0, máme V(x) > 0, napríklad keď x1=−x 2, máme V(x)=0, takže V(x) nie je pozitívne definitná funkcia a je semipozitívna definitná funkcia.
Naznačuje čiastočná diferenciovateľnosť kontinuitu?
Zhrnutie: existencia parciálnych derivátov je dosť slabá podmienka, pretože ani nezaručuje kontinuitu! Diferencovateľnosť (existencia dobrej lineárnej aproximácie) je oveľa silnejšia podmienka.
Vyplýva z diferencovateľnosti existencia parciálnych derivátov?
Veta o diferencovateľnosti hovorí, že nepretržité parciálne derivácie sú dostatočné na to, aby bola funkcia diferencovateľná. …Opak vety o diferencovateľnosti nie je pravdivý. Je možné, že diferencovateľná funkcia má nespojité parciálne derivácie.
